# Вычисление рекурсией (медленное)

Решение по формуле, используя рекурсию:

```js run
function fib(n) {
  return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

alert( fib(3) ); // 2
alert( fib(7) ); // 13
// fib(77); // не запускаем, подвесит браузер
```

При больших значениях `n` оно будет работать очень медленно. Например, `fib(77)` уже будет вычисляться очень долго.

Это потому, что функция порождает обширное дерево вложенных вызовов. При этом ряд значений вычисляется много раз. Например, посмотрим на отрывок вычислений:

```js no-beautify
...
fib(5) = fib(4) + fib(3)
fib(4) = fib(3) + fib(2)
...
```

Здесь видно, что значение `fib(3)` нужно одновременно и для `fib(5)` и для `fib(4)`. В коде оно будет вычислено два раза, совершенно независимо.

Можно это оптимизировать, запоминая уже вычисленные значения, получится гораздо быстрее. Альтернативный вариант -- вообще отказаться от рекурсии, а вместо этого в цикле начать с первых значений `1`, `2`, затем из них получить `fib(3)`, далее `fib(4)`, затем `fib(5)` и так далее, до нужного значения.

Это решение будет наиболее эффективным. Попробуйте его написать.

# Алгоритм вычисления в цикле

Будем идти по формуле слева-направо:

```js no-beautify
var a = 1, b = 1; // начальные значения
var c = a + b; // 2

/* переменные на начальном шаге:
a  b  c
1, 1, 2
*/
```

Теперь следующий шаг, присвоим `a` и `b` текущие 2 числа и получим новое следующее в `c`:

```js no-beautify
a = b, b = c;
c = a + b;

/* стало так (ещё число):
   a  b  c
1, 1, 2, 3
*/
```

Следующий шаг даст нам ещё одно число последовательности:

```js no-beautify
a = b, b = c;
c = a + b;

/* стало так (ещё число):
      a  b  c
1, 1, 2, 3, 5
*/
```

Повторять в цикле до тех пор, пока не получим нужное значение. Это гораздо быстрее, чем рекурсия, хотя бы потому что ни одно из чисел не вычисляется дважды.

P.S. Этот подход к вычислению называется [динамическое программирование снизу-вверх](http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5).

# Код для вычисления в цикле

```js run
function fib(n) {
  var a = 1,
    b = 1;
  for (var i = 3; i <= n; i++) {
    var c = a + b;
    a = b;
    b = c;
  }
  return b;
}

alert( fib(3) ); // 2
alert( fib(7) ); // 13
alert( fib(77) ); // 5527939700884757
```

Цикл здесь начинается с `i=3`, так как первое и второе числа Фибоначчи заранее записаны в переменные `a=1`, `b=1`.