update

1-js/4-data-structures/6-array/10-maximal-subarray/solution.md

@@ -0,0 +1,99 @@
+# Подсказка (медленное решение)
+Можно просто посчитать для каждого элемента массива все суммы, которые с него начинаются.
+
+Например, для `[-1, 2, 3, -9, 11]`:
+
+```js
+// Начиная с -1:
+-1
+-1 + 2
+-1 + 2 + 3
+-1 + 2 + 3 + (-9)
+-1 + 2 + 3 + (-9) + 11
+
+// Начиная с 2:
+2
+2 + 3
+2 + 3 + (-9)
+2 + 3 + (-9) + 11
+
+// Начиная с 3:
+3
+3 + (-9)
+3 + (-9) + 11
+
+// Начиная с -9
+-9
+-9 + 11
+
+// Начиная с -11
+-11
+```
+
+Сделайте вложенный цикл, который на внешнем уровне бегает по элементам массива, а на внутреннем -- формирует все суммы элементов, которые начинаются с текущей позиции.
+
+# Медленное решение
+
+Решение через вложенный цикл:
+
+```js
+//+ run
+function getMaxSubSum(arr) {
+  var maxSum = 0; // если совсем не брать элементов, то сумма 0
+
+  for(var i=0; i<arr.length; i++) {
+    var sumFixedStart = 0;
+    for(var j=i; j<arr.length; j++) {
+      sumFixedStart += arr[j];
+      maxSum = Math.max(maxSum, sumFixedStart);
+    }
+  }
+
+  return maxSum;
+}
+
+alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) ); // 5
+alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) ); // 11
+alert( getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) ); // 3
+alert( getMaxSubSum([1, 2, 3]) ); // 6
+alert( getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) ); // 100
+```
+
+Такое решение имеет [оценку сложности](http://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%ABO%C2%BB_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%BE%D0%B5_%D0%B8_%C2%ABo%C2%BB_%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D0%BE%D0%B5) O(n<sup>2</sup>), то есть при увеличении массива в 2 раза алгоритм требует в 4 раза больше времени. На больших массивах (1000, 10000 и более элементов) такие алгоритмы могут приводить к серьёзным "тормозам".
+
+# Подсказка (быстрое решение)
+
+Будем идти по массиву и накапливать в некоторой переменной `s` текущую частичную сумму. Если в какой-то момент s окажется отрицательной, то мы просто присвоим `s=0`. Утверждается, что максимум из всех значений переменной s, случившихся за время работы, и будет ответом на задачу.
+
+**Докажем этот алгоритм.**
+
+В самом деле, рассмотрим первый момент времени, когда сумма `s` стала отрицательной. Это означает, что, стартовав с нулевой частичной суммы, мы в итоге пришли к отрицательной частичной сумме -- значит, и весь этот префикс массива, равно как и любой его суффикс имеют отрицательную сумму.
+
+Следовательно, от всего этого префикса массива в дальнейшем не может быть никакой пользы: он может дать только отрицательную прибавку к ответу.
+
+# Быстрое решение
+
+```js
+//+ run
+function getMaxSubSum(arr) {
+  var maxSum = 0, partialSum = 0;
+  for (var i=0; i<arr.length; i++) {
+    partialSum += arr[i];
+    maxSum = Math.max(maxSum, partialSum);
+    if (partialSum < 0) partialSum = 0;
+  }
+  return maxSum;
+}
+
+
+alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9]) ); // 5
+alert( getMaxSubSum([-1, 2, 3, -9, 11]) ); // 11
+alert( getMaxSubSum([-2, -1, 1, 2]) ); // 3
+alert( getMaxSubSum([100, -9, 2, -3, 5]) ); // 100
+alert( getMaxSubSum([1, 2, 3]) ); // 6
+alert( getMaxSubSum([-1, -2, -3]) ); // 0
+```
+
+Информацию об алгоритме вы также можете прочитать здесь: [](http://e-maxx.ru/algo/maximum_average_segment) и здесь: [Maximum subarray problem](http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_subarray_problem).
+
+Этот алгоритм требует ровно одного прохода по массиву, его сложность имеет оценку `O(n)`.