work

1-js/8-more-functions/1-recursion/3-fibonacci-numbers/solution.md

@@ -0,0 +1,93 @@
+# Вычисление рекурсией (медленное)
+
+Решение по формуле, используя рекурсию:
+
+```js run
+function fib(n) {
+  return n <= 1 ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
+}
+
+alert( fib(3) ); // 2
+alert( fib(7) ); // 13
+// fib(77); // не запускаем, подвесит браузер
+```
+
+При больших значениях `n` оно будет работать очень медленно. Например, `fib(77)` уже будет вычисляться очень долго.
+
+Это потому, что функция порождает обширное дерево вложенных вызовов. При этом ряд значений вычисляется много раз. Например, посмотрим на отрывок вычислений:
+
+```js no-beautify
+...
+fib(5) = fib(4) + fib(3)
+fib(4) = fib(3) + fib(2)
+...
+```
+
+Здесь видно, что значение `fib(3)` нужно одновременно и для `fib(5)` и для `fib(4)`. В коде оно будет вычислено два раза, совершенно независимо.
+
+Можно это оптимизировать, запоминая уже вычисленные значения, получится гораздо быстрее. Альтернативный вариант -- вообще отказаться от рекурсии, а вместо этого в цикле начать с первых значений `1`, `2`, затем из них получить `fib(3)`, далее `fib(4)`, затем `fib(5)` и так далее, до нужного значения.
+
+Это решение будет наиболее эффективным. Попробуйте его написать.
+
+# Алгоритм вычисления в цикле
+
+Будем идти по формуле слева-направо:
+
+```js no-beautify
+var a = 1, b = 1; // начальные значения
+var c = a + b; // 2
+
+/* переменные на начальном шаге:
+a  b  c
+1, 1, 2
+*/
+```
+
+Теперь следующий шаг, присвоим `a` и `b` текущие 2 числа и получим новое следующее в `c`:
+
+```js no-beautify
+a = b, b = c;
+c = a + b;
+
+/* стало так (ещё число):
+   a  b  c
+1, 1, 2, 3
+*/
+```
+
+Следующий шаг даст нам ещё одно число последовательности:
+
+```js no-beautify
+a = b, b = c;
+c = a + b;
+
+/* стало так (ещё число):
+      a  b  c
+1, 1, 2, 3, 5
+*/
+```
+
+Повторять в цикле до тех пор, пока не получим нужное значение. Это гораздо быстрее, чем рекурсия, хотя бы потому что ни одно из чисел не вычисляется дважды.
+
+P.S. Этот подход к вычислению называется [динамическое программирование снизу-вверх](http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5).
+
+# Код для вычисления в цикле
+
+```js run
+function fib(n) {
+  var a = 1,
+    b = 1;
+  for (var i = 3; i <= n; i++) {
+    var c = a + b;
+    a = b;
+    b = c;
+  }
+  return b;
+}
+
+alert( fib(3) ); // 2
+alert( fib(7) ); // 13
+alert( fib(77) ); // 5527939700884757
+```
+
+Цикл здесь начинается с `i=3`, так как первое и второе числа Фибоначчи заранее записаны в переменные `a=1`, `b=1`.