en.javascript.info/1-js/4-data-structures/8-array-methods/1-add-class/solution.md

Решение заключается в превращении obj.className в массив при помощи split. После этого в нем можно проверить наличие класса, и если нет - добавить.

//+ run
function addClass(obj, cls) {
  var classes = obj.className ? obj.className.split(' ') : [];

  for(var i=0; i<classes.length; i++) {
    if (classes[i] == cls) return; // класс уже есть
  }

  classes.push(cls); // добавить
   
  obj.className = classes.join(' '); // и обновить свойство
}

var obj = { className: 'open menu' };

addClass(obj, 'new');
addClass(obj, 'open');
addClass(obj, 'me');
alert(obj.className)   // open menu new me

P.S. "Альтернативный" подход к проверке наличия класса вызовом obj.className.indexOf(cls) был бы неверным. В частности, он найдёт cls = "menu" в строке классов obj.className = "open mymenu".

P.P.S. Проверьте, нет ли в вашем решении присвоения obj.className += " " + cls. Не добавляет ли оно лишний пробел в случае, если изначально obj.className = ""?